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如何求等阻尼线与根轨迹的交点 已知传递函数

时间:2017-01-22 20:45    点击量:

事实上,在根轨迹平面中,等阻尼线是一条发自原点的射线,其与-180°的交角为阻尼角β

而阻尼比kexi=cosβ 

如果题目是二阶系统,有那种根轨迹是圆的,求阻尼比可以用数学运算的方法,但此题给出的根轨迹,是三条无穷远线,一条从-5到负无穷,另两条起始于0和-1,相交在区间内一点后往正负60°方向发散.此题无法给出确切的根轨迹的方程,因此只能从研究代数方程的角度入手 

首先,相交点一定同时处于等阻尼线和根轨迹上.设第二象限的交点坐标为s=-x+yi   (x,y>0)

则必有x/√(x^2+y^2)=0.3化简得91x^2=9y^2即y=3.180x 

系统的闭环特征方程为s(s+1)(s+5)+K=0,该点为根轨迹上的点,必然使闭环特征方程为0

s=yi-x=3.180xi-x=x(-1+3.180i),代入s^3+6s^2+5s+K=0,即得:

x^3*(29.3372-22.6174i)+6*x^2*(-9.1124-6.3600i)+5*x*(-1+3.180i)+K=0 

分别使实部、虚部为零,即:

-22.6174x^3-38.16x^2+15.9x=0        ---(1)

29.3372x^3-54.6852x^2-5x+K=0        ---(2)

解方程(1)得到x1=0,x2=0.3458,x3=-2.0330,因已限定x>0,故取x=0.3458

由方程(2)得K=54.6852x^2+5x-29.3362x^3=7.055

同时也可以得到交点为(-0.3458,±1.0996j)

算起来很麻烦,不过所幸方程(1)虽未三次方程,但可手解.不知道中间有没有出什么问题,但思路应该是很明确的.

楼主给分啊,算了我好久呢 

如何求等阻尼线与根轨迹的交点 已知传递函数

其他类似问题问题1:根轨迹那块的问题 已知闭环传函主导极点的阻尼比 让求对应的K值(有的题给了w还会 这个不知咋弄)[数学科目]

主导极点肯定是特征方程的根了,带回特征方程,其中主导极点用阻尼比和w可以表示出来,是复数实部和虚部可以得到两个方程,分别可以算出K和W,其实这个和算已经知道W都差不多.就是有时计算很烦,尤其是高阶的

问题2:自动控制原理中,如何求阻尼比与根轨迹的交点?[数学科目]

不是很明白你的问题,

如果你是知道了阻尼比,则可以画出一条阻尼线,阻尼线如果与根轨迹有交点,且这个交点可视为主导极点的话,则可把交点设置出来,形式就是标准二阶系统欠阻尼时的根的形式(阻尼已知,只有wn未知),接下来要关注系统有几条根轨迹了,比如,系统是3阶系统,那么每个参数K对应有3个特征根,前面提到的主导极点是一对,第3个极点可以假设出来,应该在实轴上的;把刚才设置的主导极点代入特征方程,与系统的特征方程比较可得到设置的参数!找个练习题,试试看,体会下!

问题3:已知单位负反馈控制系统的开环传递函数G(s)=K/((S^2)*(S+1)),求其根轨迹解出极点为S1=S2=0,S3=-2,则渐近线角度分别为60°、180°、300°,交点为-1/3,分离点在-1/2,如果以上结果正确,那么根轨迹应与虚轴[数学科目]

我用matlab画的G(s)=K/((S^2)*(S+1))的根轨迹,交点应是原点

闭环特征方程是s^3+s^2+k=0

将S=jw代入上式,-jw^3-w^2+k=0

实部方程k-w^2=0

虚部方程w^3=0

解得  w=0  k=0

交点确实是原点

如何求等阻尼线与根轨迹的交点 已知传递函数

问题4:什么是临界根轨迹,临界根轨迹增益怎么求.开环传递函数:G(S)=K/[S(S+1)(S+2)][数学科目]

一般在根轨迹里提到的临界,指的是使得闭环系统临界稳定的开环根轨迹增益,即存在共轭纯虚极点的情况.

换句话说,就是根轨迹与虚轴交点处的K*

如果闭环极点在虚轴上,我们不妨令之:s=jw,其中w为一实数

写出系统的闭环特征方程:s^3+3s^2+2s+K=0

因为s是闭环极点,因此一定满足闭环特征方程,代入得:

-j*w^3-3w^2+2jw+K=0

这是一个复数方程,分别令其实部、虚部为零,得到:

2jw-jw^3=0

K-3w^2=0

由上面的式子解得w=0(舍去)或w=±√2 (临界稳定是有纯虚闭环极点,等于零的极点不算)

代入下面的式子,即K=3w^2=6

注意此处的K指的是开环根轨迹增益K*,打字简单、好看把那个星号略掉了

问题5:利用根轨迹法,确定参数a的值,使得主导闭环极点的阻尼比为0.5系统为单位负反馈,开环传递函数为G(s)=10x(s+a)/(sx(s+8)x(s+1))[数学科目]

先画出以a为变量的参数根轨迹,然后做一条与负实轴夹角为60度的线,这条线和根轨迹的交点就是阻尼比为0.5的极点,注意题目中是主导极点,所以取里距离虚轴最近的交点就可以.把这个交点带入根轨迹方程,求出a.这算是图解法,手工制图的话一定不会准.当然如果能够用matlab软件画根轨迹,精度还是可以的.

还有一种解析的方法,不用画根轨迹,完全靠计算.阻尼比为0.5的极点一定在与负实轴夹角为60度的线上,所以可以设这个极点s=(-x,根号(3)x),x>0,极点是关于实轴对称的,设这个第二象限的就可以了.然后把设出的这个极点s带到根轨迹方程里,整理一下,然后实部虚部同时为0联立方程,解出对应的a和x,因为有x>0的条件,所以有些根可能要舍去的,还有就是因为主导极点,所以取x最小的那个跟就可以了.这种方法计算比较麻烦,但是算出来的话一定是精确值.

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